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Rotación

Rotación

] Rotación es el movimiento de un cuerpo extenso de forma que dado un punto cualquiera del mismo, éste permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación. La velocidad de rotación se expresa como el ángulo girado por unidad de tiempo y se mide en radianes por segundo. Otras unidades que se pueden utilizar son ciclos por segundo o revoluciones por minuto (rpm). Comúnmente se denomina por las letras:

\vec

\vec

. La rotación es una propiedad vectorial de un cuerpo. El vector representativo de la velocidad angular es paralelo a la dirección del eje de rotación y su sentido indica el sentido de la rotación siendo el sentido horario negativo y el sentido antihorario positivo. En ocasiones se utiliza también la frecuencia como medida escalar de la velocidad de rotación. El grado de variación temporal de la frecuencia angular es la aceleración angular (rad/s²) para la cual se utiliza frecuentemente el símbolo

\vec

. Período y frecuencia: Estos parámetros son de uso frecuente en sistemas rotantes a velocidad constante. El período es el inverso de la frecuencia y representa el tiempo que se tarda en dara una revolución completa. Período y frecuencia se representan respectivamente como: :Período:

T=\frac

:Frecuencia:

\nu =\frac

Rotación en sólidos rígidos

En general se utiliza un cuerpo sólido ideal no puntual e indeformable denominado sólido rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actuan sobre el cuerpo y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del cuerpo a alterar su movimiento de rotación. La energía cinética de rotación se escribe: :

E_c=\fracI \omega^2

. La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar como la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado (

\Delta\phi

). :

\Delta E_c=\vec\cdot\Delta\vec

Transformaciones de rotación

En matemáticas las rotaciónes son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:

A=\begin A_x \\ A_y \end

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) . En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

R=\begin \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end

. Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A que ha sido rotado en un ángulo $\theta$ : $R A=A'$ , es decir $\begin \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end \begin A_x \\ A_y \end= \begin A'_x \\ A'_y \end$ donde $A'_x=A_x \cos\theta + A_y\sin\theta$ y $A'_y=-A_x \sin\theta + A_y\cos\theta$ son las componentes del nuevo vector después de ser rotado.
Teorema de rotación de Euler
En matemáticas, el teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas)en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.
Véase también

- Movimientos de la Tierra
- Nutación
- Precesión
- Traslación Categoría:Matemáticas Categoría:Cinemática ja:自転

Radián
El radián es la unidad del ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Pese a que inicialmente fue clasificado, junto al estereorradián, como unidad suplementaria, dicha clasificación se considera obsoleta, atribuyéndose a ambas la categoría de unidad derivada. El radián se define como el ángulo que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio del arco. Por tanto, el ángulo, α, completo en radianes de una circunferencia de radio, r, sería: $\alpha_=\frac =\frac =2 \times \pi$ Se simboliza con la abreviatura rad. $1 rad=\frac =\frac\approx$ $1^0=\frac =\frac \approx 0,01745 rad$ El radián es la unidad natural de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple: : $\lim_\frac=1$ Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son: : $\sin(x) = x - \frac + \cdots$ : $\cos(x) = 1 - \frac + \cdots$ donde x se expresa en radianes. Otras unidades de medida de ángulos son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora. Categoría:Unidad derivada del SI Categoría: Unidades de ángulo Categoría: Parámetros de sonido ja:ラジアン ko:라디안

Vector

El término vector puede referirse a:
- En física, un vector hace referencia a una magnitud en la que importan el valor, el punto de aplicación, la dirección y el sentido.
- En matemáticas, un vector es un elemento de un campo vectorial.
- En informática, un vector es un conjunto de variables o registros del mismo tipo.
- En biología se dice del elemento portador del agente infeccioso. Como podría ser el mosquito Anopheles infectados con Plasmodium, causante de la malaria.
- En genética, un vector es un agente, que puede ser un virus o un pequeño fragmento de ADN llamado plásmido, que porta un gen extraño o modificado. Cuando se usa en terapia génica, el vector pasa el gen deseado a una célula objetivo. ja:ベクトル

Frecuencia

En física el término frecuencia se utiliza para indicar la velocidad de repetición de cualquier fenómeno periódico. Se define como el número de veces que se repite un fenómeno en la unidad de tiempo. La unidad de medida es el hercio (Hz), en honor al físico alemán Heinrich Rudolf Hertz, donde 1 Hz es un evento que tiene lugar una vez por segundo. Alternativamente, se puede medir el tiempo entre dos ocurrencias del evento (periodo) y entonces la frecuencia es la inversa de este tiempo :

f = \frac

, donde T es el periodo, medido en segundos (s).

Frecuencia como magnitud de una onda sonora

En mecánica ondulatoria, la frecuencia se define como el número de oscilaciones por segundo. Si se producen muchas oscilaciones en un segundo estaremos hablando de altas frecuencias, si, por el contrario, son pocas, hablamos de bajas frecuencias. Imagen:Frecuencia.png La frecuencia se representa con la letra (f)y se expresa en hercios.
- 1 Hz equivale a 1 ciclo/s
- 1 Kilohercio (kHz) = 1.000 Hz.
- 1 Megahercio (MHz) = Un millón de hercios.
- 1 Gigahercio (GHz) = Mil millones de hercios. La frecuencia esta relacionada con la longitud de onda. De hecho, la velocidad de propagación se define como el producto de la longitud de onda por la frecuencia. Lo que significa que a longitudes de onda más pequeñas mayor frecuencia y viceversa. El oído humano es capaz de percibir frecuencias entre 20 y 20.000 hercios (ciclos por segundo). Esta respuesta en frecuencia del oído humano es lo que conocemos como audiofrecuencias, pero el espectro sonoro es mucho más amplio. Categoría:Magnitudes físicas Categoría:Mecánica ondulatoria Categoría:Parámetros de sonido ja:周波数 ko:진동수 th:ความถี่

Aceleración

La aceleración es la magnitud física que mide la variación de la velocidad respecto del tiempo. La aceleración media es el cociente entre la variación de velocidad y el tiempo:

a_M = \frac = \frac

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

a=\frac.

Dada la posición de un móvil en función del tiempo, la aceleración es la segunda derivada respecto de la variable temporal:

a = \frac

Categoría:Magnitudes físicas categoría:Cinemática ja:加速度 ko:가속도 simple:Acceleration th:ความเร่ง

Período

El término periodo se utiliza para designar el intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo.
- En física período se utiliza para designar el intervalo de tiempo entre dos puntos equivalentes de una onda u oscilación.
- En astronomía el período orbital es la cantidad de tiempo que tarda un planeta o cuerpo celeste en describir una órbita completa. ja:ピリオド

Momento angular

El momento angular, momentum angular o momento cinético, de símbolo L, en física clásica, es igual al producto vectorial de la cantidad de movimiento (también llamado momento lineal o momentum) por el vector de posición, r, del objeto en relación al punto considerado como eje de rotación. El momentum angular puede definirse también como el momento del momentum.

L=\vec r \times\vec p = m \cdot\vec r \times\vec v

En mecánica cuántica, se transforma en un operador, análogamente al momento lineal. Las funciones propias del momento angular cuántico son los llamados armónicos esféricos, que se construyen a partir de los polinomios de Legendre. Tienen especial importancia por ser la componente angular de los orbitales atómicos. categoría:magnitudes físicas ja:角運動量 ko:각운동량 ms:Momentum sudut

Momento angular

L=\vec r \times\vec p = m \cdot\vec r \times\vec v

Matemáticas

Matemáticas (en castellano se usa comúnmente en plural para referirse al estudio y ciencia), del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: amante del conocimiento. Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias». Aunque la matemática sea la supuesta «Reina de las Ciencias», ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma del arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física. La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «números y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofía matemática. No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras que son de naturaleza básicamente diferente.

Categorías

Se dice que la matemática abarca tres ámbitos: #Aritmética. #Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas. #Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo. (Algunos, especialmente los probabilistas, agregan a esta lista el cálculo de probabilidades). Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas. Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas; he aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.

Historia

Históricamente, la matemática surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio. El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

Crisis históricas de las matemáticas

Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes: # El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos. # Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales # La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia ::Fuente: El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003

Instrumentos para cálculos matemáticos

Antiguos:
- Ábaco
- Ábaco de Napier
- Regla de cálculo
- Regla y compás
- Cálculo mental Nuevos:
- Calculadoras
- Ordenadores (Lenguajes de programación y software especializado para ciertas áreas de las mátematicas.)

Conceptos errados

Lo que cuenta como conocimiento en matemáticas se determina no mediante experimentación, sino que mediante demostraciones. No son por lo tanto las matemáticas una rama de la física, la ciencia a la que históricamente se encuentra más emparentada, puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación juega un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas. Las matemáticas no son un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución. Matemáticas no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes en para los contadores, los avances en matématica abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros. Matemáticas no significa numerología. La numerología utiliza la aritmética modular para nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intución o en tradiciones.

Enlaces relacionados

- Lista de enunciados matemáticos
- Real Sociedad Matemática Española
- Identidad de Brahmagupta

Enlaces externos

- [http://thesaurus.maths.org/mmkb/view.html?resource=index Conexiones Matemáticas]
- [http://www.rsme.es Real Sociedad Matemática Española]
- [http://www.epsilones.com/index.html Epsilones - Portada]
- [http://www.epsilones.com/paginas/t-historias.html Epsilones - Historias matemáticas]
- [http://descartes.cnice.mecd.es/index.html Portal Descartes] categoría:Matemáticas ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Espacio vectorial

Informalmente podemos pensar en un espacio vectorial como un conjunto cuyos elementos podemos sumar, restar, (estructura de grupo) estirar y contraer (multiplicación por escalar). Aunque sus elementos son llamados "vectores" su estructura requiere usualmente más que magnitud, dirección y sentido. Más formalmente hay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (E.V). La primera es práctica, detallada y elemental, se hace listando todas las propiedades de los vectores, y la segunda es teórica, conceptual, elaborada y sintética, pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos). I presentación práctica Un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, si dadas dos operaciones: suma vectorial definida en V, se denota v + w para todo v,w de V, y producto por escalares en V, se denota a
- v para todo v de V y a de K, el cuerpo de escalares, si cumple las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma y 5 para el producto escalar) para todo a, b de K y u, v y w de V: Para la Suma #v + w pertenece a V.
La suma vectorial es una operación cerrada en V. #u + (v + w) = (u + v) + w.
Asociatividad de la suma vectorial en V. #Existe un elemento 0 en V tal que para todo v de V, v + 0 = v.
Existencia del elemento neutro de la suma vectorial en V. #Para todo v de V, existe un elemento -v en V, tal que v + (-v) = 0.
Existencia del elemento opuesto respecto a la suma vectorial en V. #v + w = w + v.
Conmutatividad de la suma vectorial en V. Para el Producto por Escalares #a
- v pertence a V.
El producto por escalares es una operación cerrada en V. #a
- (b
- v) = (a
- b)
- v.
Asociatividad del producto por escalares en V. #Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo de escalares K, entonces 1
- v = v.
Neutralidad del uno del campo de escalares. #a
- (v + w)=a
- v + a
- w.
Distributividad con respecto a la suma vectorial. #(a + b)
- v = a
- v + b
- v.
Distributividad con respecto a la suma escalar. Las propiedades de la 1 a la 5 indican que V es abeliano o conmutativo bajo la suma vectorial. De las propiedades anteriores, se puede probar inmediatamente las siguientes formulas útiles: :a
- 0 = 0
- v = 0 :-(a
- v) = (-a)
- v = a
- (-v) para todo a de K y v de V. Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. El concepto de vector en un espacio vectorial es completamente abstracto como los conceptos de Grupo, Anillo, y cuerpo. Para determinar si un conjunto V es un espacio vectorial se debe especificar el conjunto V, el cuerpo o campo de escalares K y definir la suma vectorial y el producto por escalares en V. Entonces si V satisface las 10 propiedades anteriores, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. (pendiente...) II Presentación teórica Sea V un grupo abeliano ( o sea conmutativo) provisto de la operación (o ley, para abreviar) +. Entonces el conjunto de los endomorfismos de V ( escrito End V), o sea de las aplicaciones lineales de V (lineal en el sentido que respeta la ley +) forma un anillo (V, +, o), donde o es la ley de la composición de las aplicaciones. Por otra parte, el cuerpo K , con sus leyes + y . también es un anillo. Para cualquier a en K, se llama homotecia de razón a el morfismo de V x → ax (esto es a.x, o a
- x), que se nota h_a. ( como morfismo, es una aplicación de V hacia V, lo que implica la propiedad 6) Definición: Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si (K, + , . ) ----f------> ( End V, +,o) a ---------> h_a es un morfismo de anillos.
- El hecho que ( V, + ) sea un grupo abeliano resume las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5, puesto que en grupo, la operación es interna (1), asociativa (2), tiene neutro (3) y elemento opuesto para cada vector (4),y si el grupo es abeliano, la ley es conmutativa (5).
- El que h_a sea lineal da la propiedad 9, porque h_a(v + w) = h_a(v) + h_a(w) o sea a(v + w) = av + aw. El que f sea un morfismo de anillos significa que
- f(a + b) = f(a) + f(b), es decir que h_{a + b} = h_a + h_b o sea (a+b)v = av + bv (propiedad 10)
- f(ab) = f(a)o f(b), es decir h_ab = h_ao h_b, o sea (a.b)(x)= a.(b.x) (propiedad 7)
- f(1) = id,o sea h₁ = id, donde 1 es el neutro de (K, .) y id es la identidad, es decir la aplicación x → x de V. La identidad es obviamente el neutro de End V. Esto se escribe 1.v = v para cuaquier vector v. (propiedad 8 ) Se podría añadir f(0) = 0 , la aplicación nula de V, pero es una consecuencia del tercer punto. El último punto ( f(1)= id ) equivale a afirmar que f no es la aplicación nula.

Enlaces externos

- [http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html Juega con vectores] Categoría:Álgebra ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간

Matriz

La palabra Matriz se refiere a: #El órgano reproductor de las hembras mamíferas, sinónimo de útero. #El conjunto de números o símbolos algebraicos colocados en líneas horizontales y verticales y dispuestos en forma de rectángulo. Consultar Matriz (matemáticas). #Matriz - parroquía del município de Borba (Portugal) #Matriz - parroquía del município de Horta (Azores) #Matriz - parroquía del município de Ribeira Grande simple:Matrix ja:行列

Determinante

Definición

Se puede hablar del determinante de una matriz cuadrada, de una aplicación lineal (endomorfismo en dimensión finita) o de n vectores de un espacio de dimensión n. Todos estos dominios están relacionados. Lo lógico es empezar por la teoría, hablando de función sobre los vectores, y seguir por la práctica, el cálculo efectivo de determinantes.

Sea K un cuerpo (en general, K = R o K = C ) y E un espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n.
Una forma de Eⁿ es una aplicación lineal de Eⁿ hacia K. Como E es isomorfo a Kⁿ, esta aplicación se puede escribir así:

::::: E × E × ... E → K :::::(v_₁, v_₂,... v_{_n}) → f(v_₁, v_₂, ... v_{_n})

Una aplicación de Eⁿ es n-lineal si es lineal con relación a todos sus argumentos, es decir, si se hace variar un solo argumento, fijando los demás, la función varía de forma lineal.
Por ejemplo, la linealidad para con el vector número i se expresa mediante esta fórmula:
::::f(v_₁, ... λ·u_{_i} + μ·w_{_i} , ... v_{_n}) = λ·f(v_₁, ... u_{_i}, ... v_{_n}) + μ·f(v_₁, ... w_{_i} , ... v_{_n}). Una aplicación de Eⁿ es alterna si es nula cada vez que hay dos argumentos iguales.
Por ejemplo, si con n = 3; f(u, v, u) = 0 porque el primer y el tercer vector son iguales.
Sea (e_₁, e_₂ ... e_{_n}) la base canónica de E ≈ Kⁿ.

Aquí hemos la definición exacta del determinante:

El determinante de E ( relativo a la base (e_₁, e_₂ ... e_{_n}) ) es la única forma n-linear de Eⁿ, alterna, y que toma el valor 1 en la base, es decir tal que f(e_₁, e_₂ ... e_{_n}) = 1.

Dos ejemplos

El caso n = 1 carece totalmente de interés, veamos los casos n = 2 y lueg n = 3.
Una observación preliminar: una aplicación alterna es también antisimétrica.
En efecto, con n = 2 por ejemplo: :: f( v + w, v + w) = o por ser f alterna, luego si se desarolla el miembro izquierdo, se obtiene: :: f( v + w, v + w) = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v,v) = 0 + f(u, v) + f(v, u) + 0.
Igualando los dos resultados se concluye que f(v, u) = - f(u,v), lo que es la antisimetría.

En la base (e_₁, e_₂) de E, sea u = a·e_₁ + b·e_₂ y v = c·e_₁ + d·e_₂ dos vectores cualesquiera. De aquí en adelante, se notará det el determinante. ::det(u, v) = det(a·e_₁ + b·e_₂, c·e_₁ + d·e_₂) = c·det(a·e_₁ + b·e_₂, e_₁) + d·det(a·e_₁ + b·e_₂, e_₂)
:::linealidad a la derecha es decir con relación al segundo argumento :: = c·a·det(e_₁, e_₁) + c·b·det(e_₂, e_₁) + d·a·det(e_₁, e_₂) + d·b·det(e_₂, e_₂)
:::::linealidad a la izquierda
::= c·a·0 + c·b·(-1) + d·a·1 + d·b·0 = ad - bc :la forma alterna anula det(e_₁ , e_₁) y det(e_₂ , e_₂), y la antisimetría hace que det(e_₂ , e_₁) = - det(e_₁ , e_₂) = -1
::::por definición, det(e_₁ , e_₂) = 1 Si se disponen los vectores en columna, se constituye una matriz cuyo determinante se calcula por la regla de los productos cruzados:

:::Imagen:determinante_2.png Se procede de la misma manera en el caso n = 3; sin embargo, para eludir cálculos más largos, es preferible reflexionar antes de echarse a llenar hojas.
Se toma tres vectores, u,v y w, y se les descomponen en la base (e_₁, e_₂, e_₃).
Al desarrollar el determinante, se tendrá que descartar todos los casos en que aparezcan varias veces el mismo vector. Quedarán pues sólo términos donde aparecen una vez los tres vectores de las base, mas en un orden cualquiera. Se dice que hay una permutación de e_₁, e_₂ y e_₃.
Por ejemplo: det(e_₃,e_₁,e_₂) = - det(e_₁,e_₃,e_₂) = det(e_₁,e_₂,e_₃) = 1, aplicando la antisimetría dos veces.
Al pasar del primer miembro al último, se ha multiplicado dos veces por -1, o sea una vez por (-1)².
Este último factor es la firma de la permutación que envía (e_₁, e_₂,e_₃) en (e_₃, e_₁, e_₂).
El conjunto de las permutaciones (de tres elementos) se llama el grupo simétrico (de orden 3), S₃. S₃ tiene tres permutaciones pares, es decir de firma 1, y tres impares, de firma -1. Se nota ε(σ) o sgn(σ) la firma de la permutación σ (sgn como signature ,firma en francés, o signo).
Con todos estos datos, se puede hallar el determinante de orden 3: El método de Sarrus consiste en escribir los tres vectores en columna y repetir las dos primeras líneas por debajo de la matriz; las permutaciones pares corresponden a las diagonales descendientes mientras que las impares corresponden a las ascendientes. Sobre cada diagonal se multiplican los números, y se suman o restan los productos. Imagen:determinante_3_por_Sarrus.png

Fórmula general

El raciocinio detallado del caso n = 3 permite la generalización. Sea un valor cualquiera de n, y los vectores:
v_₁ = a_{_1,1}e_₁ + a_{_2,1}e_₂ + ... + a_{_n,1}e_{_n},
v_₂ = a_{_1,2}e_₁ + a_{_2,2}e_₂ + ... + a_{_n,2}e_{_n}, y así sucesivamente hasta :
v_{_n} = a_{_1,n}e_₁ + a_{_2,n}e_₂ + ... + a_{_n,n}e_{_n}.
Y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores v_₁, ... v_{_n}. A = (a_{_i,j})_1≤i,j≤n. :

\det(A) = \det(v_1,\cdots,v_n) = \sum_ \left ( \epsilon ( \sigma ) \prod^n_ a_ \right )

Excepto en casos sencillos, esta fórmula no resulta muy práctica a causa del número excesivo de permutaciones. Afortunadamente, existe una manera de desarrollar el determinante según una columna o una línea:
:

\det(A) = \sum^n_ a_ \cdot c_ = \sum^n_ a_ \cdot c_

Es la fórmula de Laplace.

Propiedades

La propiedad algébraica fundamental del determinante es la siguiente:

:::::det(AB) = det(A)·det(B) en términos de aplicaciones lineales, se escribe así: :::::det(uºv) = det(u)·det(v)

Interés

Una matriz o una aplicación lineal es invertible si y sólo si su determinante no es nulo (en un cuerpo). Categoría:Álgebra ja:行列式 ko:행렬식

Nutación

(verde).]] La nutación es un ligero movimiento de cabeceo de un planeta en el espacio (se parece al movimiento de una peonza cuando pierde fuerza y está a punto de caerse). En el caso de la Tierra, la nutación se superpone al movimiento de precesión. La nutación hace que los polos de la Tierra se desplacen unos nueve segundos de arco cada 18,6 años. Fue descubierta en 1728 por el astrónomo inglés James Bradley. Hasta 20 años más tarde, no se supo que la causa del movimiento extra del eje de la Tierra era la Luna.

Véase también

- Movimientos de la Tierra
- Precesión
- Rotación
- Traslación Categoría:Astronomía ja:章動

Traslación

La traslación de un vector es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P'. Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector.

Categoría:Matemáticas

. Categoría:Ciencias ja:Category:数学 ko:분류:수학 ms:Kategori:Matematik simple:Category:Mathematics th:Category:คณิตศาสตร์

Jyväskylän Sirius

Jyväskylän Sirius ry on Jyväskylän ja sen lähikuntien alueella toimiva tähtitieteellinen yhdistys, jonka tavoitteena on edistää alueensa tähtitieteen harrastusta. Yhdistys on perustettu vuonna 1959. Yhdistyksen toiminta, joka alkoi jo vuonna 1959, käsittää nykyään havaintotoimintaa, jäseniltoja, retkiä, kaukoputkenrakennusta ja julkaisutoimintaa. Jäsenistö koostuu kaikenikäisistä luonnontieteistä kiinnostuneista harrastajista. Siriuksella on kaksi tähtitieteellistä observatoriota: Rihlaperän tähtitorni Jyväskylässä ja Nyrölän observatorio Jyväskylän maalaiskunnan Nyrölän kylässä.

Aiheesta muualla

[http://www.ursa.fi/sirius Yhdistyksen kotisivut] Luokka:Tähtitieteelliset yhdistykset Luokka:Jyväskylä

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Rotación

Rotación en sólidos rígidos

Transformaciones de rotación

Teorema de rotación de Euler

Véase también

Radián

Vector

Frecuencia

Frecuencia como magnitud de una onda sonora

Aceleración

Período

Momento angular

Momento angular

Matemáticas

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